Міністерство освіти та науки України Національний унівеоситет «Львівська політехніка» Кафедра САПР Лабораторна робота №2 З курсу "Розробка систем комп’ютерного проектування" на тему «Загальний математичний опис фільтрів» Загальний математичний опис фільтрів. Загалом і активні фільтри, зокрема, є настільки важливими пристроями електроніки, що питанням, математичного опису приділялося і приділяється найсерйозніша увага. Публікується велика кількість наукових статтей і книг, присвячених фільтрам. Для того, щоб інженер або науковий працівник був у змозі скористатися зазначеними джерелами інформації, а також засобами автоматизованого проектування, він повинен хоча б у загальних рисах знати особливості математичного опису фільтрів. Зазвичай фільтр аналізується як кінцева лінійна електронна схема з зосередженими параметрами. Якщо реальна схема фільтра є нелінійною (наприклад, містить транзистори або операційні підсилювачі), то при аналізі вона лынызуэться і потім розглядається як лінійна. Відповідно фільтр описується звичайним лінійним диференціальним рівнянням деякого порядку n:
де х = х (t) - вхідний сигнал фільтра (зазвичай - вхідна напруга); у = у (х) - вихідний сигнал фільтра (зазвичай - вихідна напруга);
- дійсні коефіцієнти. Для фільтрів, які можуть бути реалізовані, виконується співвідношення
. Величину n називають також порядком фільтра. Якщо, наприклад, n = 2, то говорять, що фільтр другого порядку. Необхідно відзначити, що замість записаного одного рівняння фільтр може бути описаний лінійною системою з n диференціальних рівнянь першого порядку (системою диференціальних рівнянь у формі Коші). Показано, що величина n дорівнює або менша кількості реактивних елементів (конденсаторів і котушок індуктивності) фільтра. Наприклад, якщо у фільтрі три конденсатора, то він може бути третім чи меншого порядку. Інженеру потрібно знати, що порядок фільтра визначається кількістю тих напруг на конденсаторах і струмів котушок індуктивності, котрі можуть задаватися як початкові незалежно один від одного. Для прикладу звернемося до схеми, наведеної на рис. 1.2.
Рис. 1. 2. Приклад схеми 2-го порядку. Вже до складання одного диференціального рівняння або еквівалентної системи диференціальних рівнянь можна сказати, що це схема другого порядку, так як початкові напруги при розрахунку перехідного процесу можна задавати незалежно для двох із трьох конденсаторів. Застосуємо до наведеного вище рівняння пряме перетворення Лапласа і визначемо передавальну функцію Т (s) як відношення операторного зображення Y (s) вихідної величини до операторного зображеня Х (s) вхідної величини:
де s – комплексна частота. Запишемо передавальну функцію в наступному вигляді:
(1). де К - матеріальний коефіцієнт;
- корені полінома чисельника (їх прийнято називати нулями); . 
- корені полінома знаменника (їх прийнято називати полюсами). Відомо, що полюси і нулі можуть бути чи речовими, або комплексно-сполученими. Як вже зазначалося, при описі властивостей фільтрів зазвичай орієнтуються на синусоїдальні сигнали. При цьому мають на увазі встановлений режим роботи. У такій ситуації широко використовують частотну передавальний функцію
, яку отримують зі звичайної передавальної функції при використанні підстановки
. де
- кругова частота, рад / сек. Отримуємо:
(2) Зазначимо три характеристики, які широко використовуються для опису фільтрів: .• амплітудно-частотна; • фазочастотна; • групової затримки (групового часу затримки). Амплітудно-частотна характеристика являє собою залежність виду:
Значення
на певній частоті дає відношення діючих (або амплітудних) значень сигналів на виході і вході фільтра. На практиці широко використовують амплітудночастотну характеристику в децибелах, яка являє собою залежність виду:
Фазочастотна характеристика - це залежність виду:
Значення
на певній частоті є зрушенням ...